বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ | BCS Preparation

বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ বিষয়টি যেকোনো প্রতিযোগিতামূলক পরীক্ষার [ Competitive Exam] এর Math বা গণিত বিষয়ের গুরুত্বপূর্ণ অংশ। আমাদের ভিডিও গুলোতে আমরা বিসিএস [ BCS Prepration ], বিশ্ববিদ্যালয় ভর্তি পরীক্ষার প্রস্তুতি [ University Admission Preparation ] , চাকরি পরীক্ষার প্রস্তুতি [ Job Exam Preparation ] এবং বিভিন্ন ধরনের প্রতিযোগিতা মূলক পরীক্ষার প্রস্তুতিমূলক সাজেশন, বিভিন্ন ধরনের টিপস ও এর সিলেবাস পড়িয়ে থাকি । আমাদের ভিডিও গুলো দেখে আপনারা খুব সহজেই নিজেদেরকে তৈরি করে নিতে পারবেন যে কোন ভর্তি পরীক্ষার জন্য।

বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ

বহুপদী (Polynomial):

a0​,a1​,a2​,………,an​ প্রত্যেকেই ধ্রুবক অর্থাৎ x বর্জিত নির্দিষ্ট সংখ্যা, a0≠0 এবং n∈N∪{0}  হলে, P(x)=a0​xn+a1​xn−1+a2​xn−2+………+an​ আকারের যেকোনো রাশিকে x এর n তম ঘাতের বহুপদী রাশি বলা হয়। বহুপদীর পদগুলির মধ্যে x এর গরিষ্ঠ ঘাতকে বহুপদীর ঘাত বা মাত্রা (degree) বলা হয়। বহুপদীতে গরিষ্ঠ মাত্রাযুক্ত পদটিকে মূখ্যপদ এবং বৃহত্তম ঘাত বিশিষ্ট পদের সহগকে মূখ্য সহগ (Coefficient) বলা হয়।

0 মাত্রাযুক্ত অর্থাৎ চলক-বর্জিত পদটিকে ধ্রুবপদ বলা হয়। 34+53+22+9+1,3x4+5x3+2x2+9x+1,x চলকের একটি বহুপদী রাশি, যার ঘাত 4, মূখ্যপদ 343x4 , মুখ্য সহগ 3 এবং ধ্রুবপদ 1.

লক্ষণীয় যে, 32+53+73x2+x35​+7 রাশিটি বহুপদী নয়। কেননা, রাশিটির দ্বিতীয় পদে x এর ঘাত ঋণাত্মক (–3)।

,log⁡,ln⁡ax,ex,logx,lnx   এরা বহুপদী নয়। n=0 হলে P(x) কে 0 ঘাতবিশিষ্ট বহুপদী বলা হয়।

x চলকের বহুপদীকে সাধারণত x এর ঘাতের অধঃক্রমে (অর্থাৎ, মূখ্যপদ থেকে শুরু করে ক্রমে ক্রমে ধ্রুব পদ পর্যন্ত) বর্ণনা করা হয়। এরূপ বর্ণনাকে বহুপদীটির আদর্শ রূপ (Standard form) বলা হয়।

বহুপদী সমীকরণ (Polynomial equation):

• ∑=0∑i=0n​ai​xn−i=a0​xn+a1​xn−1+a2​xn−2+⋯+an−1​x+an​=0 আকারের সমীকরণকে বহুপদী সমীকরণ বলে। [যেখানে 0≠0 এবং ∈a0​=0 এবং n∈N]
• পদসমূহের মধ্যে কোন চলকের সর্বোচ্চ ঘাত যত থাকে তাকে তত ঘাতের সমীকরণ বলে। সর্বোচ্চ ঘাতকে উক্ত সমীকরণের মাত্রা (Degree) বলে। n ঘাতবিশিষ্ট সমীকরণে n টি মূল থাকে। যেমন: 3+1=0x3+1=0 একটি ত্রিঘাত সমীকরণ অর্থাৎ মাত্রা =3। কিন্তু পদসমূহের মধ্যে কোন চলকের ঘাত ঋণাত্মক হলে তাকে বহুপদী সমীকরণ বলা যাবে না। যেমন: 33+42+9=03x3+x24​+9=0 বহুপদী সমীকরণ নয়।
• একাধিক চলক সমন্বিত কোন পদ থাকলে সে পদের ঘাত হয় উভয় চলকের ঘাতের যোগফল। যেমন: 22+3+3=0x2y2+x3+y3=0 একটি চতুর্ঘাত সমীকরণ।

বহুপদী সমীকরণের উৎপাদক উপপাদ্য (Factor theorem of polynomial equations):

বর্ণনা (Explanation): যদি f (x) একটি বহুপদী হয় এবং f (a) = 0 হয়, তবে বহুপদী f (x) এর একটি উৎপাদক x-a হবে।

প্রমাণ (Proof): ধরি, f (x) বহুপদীকে x-a দ্বারা ভাগ করলে ভাগফল q(x) এবং ভাগশেষ r পাওয়া যায়।

তাহলে সংজ্ঞানুসারে f(x) = (x-a) q (x) +r ……………..(i)

ভাগশেষ উপপাদ্য হতে পাই, r = f(a)

সেক্ষেত্রে (i) নং হতে পাই, f(x) = (x-a) q (x)+f (a) ………………….(ii)

সুতরাং এ শর্তে (ii) নং হতে পাওয়া যায় f(x)=(x-a) q(x) যা প্রকাশ করে f(x) বহুপদী, x-a দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।

অতএব, বহুপদী f(x) এর x-a একটি উৎপাদক।

উদাহরণ (Example): ধরি, )=4−23−212+22+40f(x)=x4−2x3−21x2+22x+40

এখানে, $f(-1)=1+2-21-22+40=0$

অর্থাৎ, বহুপদী f(x) এর x- (-1) = x +1 একটি উৎপাদক।

তাহলে, 4−23−212+22+40=(+1)(3−32−18+40)x4−2x3−21x2+22x+40=(x+1)(x3−3x2−18x+40) 

বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ নিয়ে বিস্তারিত ঃ